Number theory 5: Given $2n+2$ points in the plane......

Given $2n+2$ points in the plane, no three collinear,prove that two of them deter-mine a line that separates $n$ of the points from the other $n$ 

Solution 

Imagine the points lying on the map,and choose the westmost point, say $P_1$, as one of the two that will determine the line (there are at most two westmost point,choose any of them).
 Place a Cartesian system of coordinates with the origin at $P_1$,the x-axis in the direction west-esat, and the y-axis in the direction west-east, and the y-axis in the direction south-north. Order the rest of the points in an increasing sequence $P_2,P_3,...P_{2n+2}$ with respect to the oriented angles that $P_1P_{i}$ from with the x-axis.

This is possible because no three points are collinear and the angles are between $-90^{o}$ and $90^{o}$.
If we choose $P_1P_{n+2}$ to be the line, then $P_2,P_3,...P_{n+1}$ lie inside the angle formed by $P_1P_{n+2}$ and the negative half of the y-axis, and $P_{n+3},P_{n+4},...P_{2n+2}$ lie inside the angle formed by $P_1P_{n+2}$ and the positive half of y-axis,so the two sets of point are separated by the line $P_1P_{n+2}$, which show that $P_1$ and $P_{n+2}$ have the desired property.

Number theory 4: 1988 IMO Problems

Let $a$ and $b$ be positive integers such that $ab+1$ divides $a^2+b^2$. Show that $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}$ is the square of an integer.

Solution

Choose integers $a,b,k$  such that $a^2+b^2=k(ab+1)$ ($k \in N*$) 

Now, for fixed $k$, out of all pairs $(a,b)$ choose the one with the lowest value of $min(ab)$. Label $b'=min(a,b)$,$a'=max(a,b)$. 

Thus,$a'^2-kb'a'+b'^2-k=0$ is a quadratic in $a'$. 

Should there be another root, c, the root would satisfy: $b'c\leq a'c=b'^2-k<b'^2\Rightarrow c<b'$ (By Viete) 

Thus, $c$  isn't a positive integer (if it were, it would contradict the minimality condition).
 But $c=kb'-a'$, (By Viete $c'+a'=kb'$) so $c$ is an integer; hence, $c\leq 0$. 

In addition, $(a'+1)(c+1)=a'c+a'+c+1=b'^2-k+b'k+1=b'^2+(b'-1)k+1 \geq 1$  so that $c \geq -1$.

 We conclude that $c=0$ so that $b'^2=k$.
$\Rightarrow k$ is the square of an integer.

This construction works whenever there exists a solution $(a,b)$ for a fixed $k$ , hence $k$  is always a perfect square.

PHẦN NGUYÊN CỦA MỘT SỐ THỰC

PHẦN NGUYÊN CỦA MỘT SỐ THỰC

A. ĐỊNH NGHĨA

Ta biết rằng, mọi số thực $x$ đều có thể viết được dưới dạng

$x=n+z$

trong đó $n$ là số nguyên và $0 \le z \le 1$

Chẳng hạn:

$7,9=7+0,9$
$-7,9=-8+0,1$

Hơn nữa, cách viết như trên là duy nhất. Ta gọi số nguyên $n$ là phần nguyên của $x$ và kí hiệu là $[x]$; còn $z$ được gọi là phần phân của $x$ và kia hiệu là $\left \{ x \right \}$.

Từ phân tích, ta rút ra định nghĩa
Định nghĩa: Phần nguyên của số thực $x$, kí hiệu là $[x]$, là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Phần phân của số thực $x$ được định nghĩa bởi $\left \{ x \right \}=x-[x]$.

Ngoài cách gọi thông thường là phần nguyên (intergal part) của $x$ với kí hiệu là $[x]$, một số tác giả nước ngoài còn gọi đó là floor function và kí hiệu là $\left \lfloor x \right \rfloor$. Sở dĩ thế vì người ta nêu ro ceiling function - kí hiệu $\left \lceil x \right \rceil$, như định nghĩa sau đây

$\left \lceil x \right \rceil$ là số nguyên nhỏ nhất vượt quá $x$

Dễ dàng thấy rằng

$\left \lceil x \right \rceil=\left\{\begin{matrix}x=\left \lfloor x \right \rfloor ; x\in \mathbb{Z} & & \\ \left \lceil x \right \rceil+1 ; x\notin \mathbb{Z} & & \end{matrix}\right.$

B. TÍNH CHẤT

1) $x=[x]+\left \{ x \right \}$
2) $x=[x] \Leftrightarrow x \in \mathbb{Z}$
3) $x=\left \{ x \right \} \Leftrightarrow 0\le x < 1$
4) $x-1<[x] \le x$
5) Nếu $k$ nguyên thì

$[x+k]=[x]+k$ và $\left \{ x+k \right \}=\left \{ x \right \}+k$

Bạn hãy tập chứng minh những tính chất này đi!

Xin đưa thêm một số tính chất
6) $[x+y] \ge [x]+[y]$
7) $[x] \le x <[x]+1$
8) Nếu $x \ge y$ thì $[x] \ge [y]$

9) $0 \le \left \{ x \right \} <1$
10) $\left \{ x+y \right \} \le \left \{ x \right \} + \left \{ y \right \}$

Chứng minh tính chất 6
Viết $x=[x]+\left \{ x \right \}, y=[y]+\left \{ y \right \}$
Khi đó
$[x+y]=[([x]+[y])+(\left \{ x \right \}+\left \{ y \right \})]=[x]+[y]+[\left \{ x \right \}+\left \{ y \right \}]$. (1)
Vì $\left \{ x \right \} \ge 0$ và $\left \{ y \right \} \ge 0$ nên $[\left \{ x \right \}+\left \{ y \right \}] \ge 0$.
Kết hợp với (1) ta suy ra

$[x+y] \ge [x]+[y]$

Chứng minh tính chất 8
Vì $x \ge y$ nên $\exists \alpha \ge 0$ sao cho:

$x=y+\alpha$ hay $x=[y]+(\left \{ y \right \}+\alpha)$.

Suy ra $[x]=[y]+[(\left \{ y \right \}+\alpha)]$. (1)
Vì $\alpha \ge 0$ và $\left \{ y \right \} \ge 0$ nên $\left \{ y \right \}+\alpha \ge 0$ và $[(\left \{ y \right \}+ \alpha)] \ge 0$.
Kết hợp với (1) ta có $[x] \ge [y]$.

Xin giới thiệu thêm một số tính chất khá là thú vị
1) Giả sử $0<\alpha \in \mathbb{R}$ và $n \in \mathbb{N}$. Lúc đó $\left [ \dfrac{\alpha}{n} \right ]$ là số tất cả các số nguyên dương là bội của $n$ nhưng không vượt quá $\alpha$.
2) Giả sử $0<\alpha \in \mathbb{R}$ và $n \in \mathbb{N}$. Lúc đó,

$\left [ \dfrac{n}{\alpha} \right ]$

là số tất cả các số nguyên dương là bội của $\alpha$ nhưng không vượt quá $n$.
3) Nếu $a$ và $b$ là hai số không âm, thì

$[2a]+[2b] \ge [a]+[b] + [a+b]$

Number theory 3 Chứng minh rằng $ab+cd$ là hợp số

BÀI 26 : SỐ HỌC : CHỨNG MINH AB+CD LÀ HỢP SỐ

08.02.2014 BY HIEUANGUYENTRUNG

Đề bài : Cho a,b,c,d  là số tự nhiên thỏa mãn đồng thời các điều kiện a>b>c>d và 

$ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)$

      Chứng minh rằng $ab+cd$ là hợp số 

Lời giải : 

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau :

Bổ đề : nếu số nguyên dương a là một ước của tích  $A=a_1.a_2⋯a_n với a_i∈{N}*$ và $a>a_i$, ∀i=1,2,…,n thì a là hợp số.

Chứng minh. Giả sử ngược lại, a là số nguyên tốt. Khi đó, do  nên trong các số ai phải có ít nhất một số  chia hết cho a, tức ta phải có  . Điều này mâu thuẫn với tính chất của số a, do đó nó phải là hợp số.

Trở lại bài toán:

Giả thiết của bài toán có thể được viết lại dưới dạng như sau:

hay 

Ta có

Do đó  là ước của 

Theo bổ đề trên, để chứng minh  là hợp số ta cần chứng minh

BĐT (1) hiển nhiên đúng do 

Từ giả thiết ta thấy

 thì 

 (vô lý)

 như thế ta có :

Vậy BĐT (2) đã được chứng minh xong ….bài toán đã được giải quyết !

Number theory 2: Chứng minh rằng ab+cd là hợp số

Đề bài : Cho a,b,c,d  là số tự nhiên thỏa mãn đồng thời các điều kiện a>b>c>d và ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)

      Chứng minh rằng ab+cd là hợp số 

Lời giải : 

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau :

Bổ đề : nếu số nguyên dương a là một ước của tích  $A=a_1.a_2⋯a_n$ với $a_i∈{N}*$ và $a>ai$, ∀i=1,2,…,n thì $a$ là hợp số.

Chứng minh. Giả sử ngược lại, a là số nguyên tốt. Khi đó, do $a\in Ư(A)$ nên trong các số ai phải có ít nhất một số $a_{j}$  chia hết cho $a$, tức ta phải có  $a_{j} \geq a$ . Điều này mâu thuẫn với tính chất của số $a$, do đó nó phải là hợp số.

Trở lại bài toán:

Giả thiết của bài toán có thể được viết lại dưới dạng như sau:

$ac+bd=(b+d)^2-(a-c)^2$

hay $a^2-ac+c^2=b^2+bd+d^2$
Ta có
$(ab+cd)(ad+bc)=ac(b^2+d^2)+bd(a^2+c^2)$
$=ac(b^2+bd+d^2)+bd(a^2-ac+c^2)=(ac+bd)(b^2+bd+d^2)$

Do đó $ac+bd$ là ước của $(ac+bd)(b^2+bd+d^2)$. Ta có đpcm.

Number theory 1 Giải phương trình nghiệm nguyên: $7^x=3.2^y+1$

Đề Bài
Giải phương trình nghiệm nguyên:
$$7^x=3.2^y+1$$

Lời Giải

Có đánh giá $7^x$ chia $4$ dư $3$ nếu $x$ lẻ và dư $1$ nếu $x$ chẵn. Phương trình đã cho tương đương:

$7^x-1=3.2^y$

Nếu $x$ lẻ thì $7^x-1$ chia $4$ dư $2$, mà với $y \geq 2$ thì $3.2^y$ chia hết cho $4$. Do đó $y=1$, ta được ngay cặp nghiệm:

$(x;y)=(1;1)$

Nếu $x$ chẵn tức $x=2z$ ( với $z$ nguyên dương), phương trình đầu có dạng:

$(7^z+1)(7^z-1)=3.2^y$                            $(*)$

Vì $2;3$ là các số nguyên tố, nên $(*)$ là dạng phân tích của $(7^z+1)(7^z-1)$ thành tích các thừa số nguyên tố.

Do $7^z-1$ chia $3$ dư $2$ nên $7^z+1=2^n$  $(**)$ với $n$ là số nguyên dương nào đó thỏa mãn.

Từ đó $7^z-1=2^n-2$. Vậy $(2)$ có dạng:

$2^n(2^n-2)=3.2^y \Rightarrow 2^{n+1}(2^{n-1}-1)=3.2^y$

Do $2^{n-1}-1$ không chia hết cho $2$ nên $2^{n-1}-1=3$ hay $n=3$. Thay vào $(**)$, ta có ngay $z=1$ hay $x=2$ và có luôn cặp nghiệm tiếp theo:

$(x;y)=(2;4)$

Vậy phương trình đã cho có $2$ cặp nghiệm nguyên dương: $(x;y)=(1;1);(2;4)$ 

Chuyên đề số học của diễn đàn VMF

Các bạn thân mến,


Số học là một phân môn quan trọng trong toán học đã gắn bó với chúng ta xuyên suốt quá trình học toán từ bậc tiểu học đến trung học phổ thông. Chúng ta được tiếp xúc với số học bắt đầu bằng những khái niệm đơn giản như tính chia hết, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất... giúp làm quen dễ dàng hơn với sự kì diệu của những con số cho đến những vấn đề đòi hỏi nhiều tư duy hơn như đồng dư, số nguyên tố, các phương trình Diophantine mà nổi tiếng nhất là định lý lớn Fermat..., đâu đâu từ tầm vi mô đến vĩ mô, từ cậu bé lớp một bi bô 4 chia hết cho 2 đến Giáo sư thiên tài Andrew Wiles (người giải quyết bài toán Fermat), chúng ta đều có thể thấy được hơi thở của số học trong đó.


Số học quan trọng như vậy nhưng lạ thay số chuyên đề viết về nó lại không nhiều nếu đem so với kho tàng đồ sộ các bài viết về bất đẳng thức trên các diễn đàn mạng. Xuất phát từ sự thiếu hụt đó cũng như để kỉ niệm tròn một năm Diễn đàn toán học (VMF) khai trương trang chủ mới (16/01/2012 - 16/01/2013), nhóm biên tập chúng tôi cùng với nhiều thành viên tích cực của Diễn đàn đã chung tay biên soạn một chuyên đề gửi đến bạn đọc.

Chuyên đề là tập hợp các bài viết riêng lẻ của các tác giả Nguyễn Mạnh Trùng Dương, Nguyễn Trần Huy, Nguyễn Trung Hiếu, Phạm Quang Toàn, Trần Nguyễn Thiết Quân, Trần Trung Kiên,Nguyễn Đình Tùng… cùng sự góp sức gián tiếp của nhiều thành viên tích cực trên Diễn đàn nhưNguyen Lam Thinh, nguyenta98, Karl Heinrich Marx, The Gunner, perfectstrong...

Kiến thức đề cập trong chuyên đề tuy không mới nhưng có thể giúp các bạn phần nào hiểu sâu hơn một số khái niệm cơ bản trong số học cũng như trao đổi cùng các bạn nhiều dạng bài tập hay và khó từ cấp độ dễ đến các bài toán trong các kì thi Học sinh giỏi quốc gia, quốc tế.

Chuyên đề gồm 7 chương. Chương 1 đề cập đến các khái niệm về Ước và Bội. Số nguyên tố và một số bài toán về nó được giới thiệu trong chương 2. Chương 3 nói sâu hơn về Các bài toán chia hết. Phương trình nghiệm nguyên, Phương trình đồng dư được phác họa trong các chương 4 và 5. Hệ thặng dư và định lý Thặng dư Trung Hoa sẽ được gửi đến chúng ta qua chương 6 trước khi kết thúc chuyên đề bằng Một số bài toán số học hay trên VMF ở chương 7.

Do thời gian chuẩn bị gấp rút nội dung chuyên đề chưa được đầu tư thật sự tỉ mỉ cũng như có thể còn nhiều sai sót trong các bài viết, chúng tôi mong bạn đọc thông cảm. Mọi sự ủng hộ, đóng góp, phê bình của độc giả sẽ là nguồn động viên tinh thần to lớn cho ban biên tập cũng như cho các tác giả để những phiên bản cập nhật sau của chuyên đề được tốt hơn, đóng góp nhiều hơn nữa cho kho tàng học thuật của cộng đồng toán mạng. Chúng tôi hi vọng qua chuyên đề này sẽ giúp các bạn tìm thêm được cảm hứng trong số học và thêm yêu vẻ đẹp của những con số. Mọi trao đổi góy ý xin gửi về địa chỉ email : contact@diendantoanhoc.net.

Trân trọng,

Nhóm biên tập chuyên đề số học