PHẦN NGUYÊN CỦA MỘT SỐ THỰC

PHẦN NGUYÊN CỦA MỘT SỐ THỰC

A. ĐỊNH NGHĨA

Ta biết rằng, mọi số thực $x$ đều có thể viết được dưới dạng

$x=n+z$

trong đó $n$ là số nguyên và $0 \le z \le 1$

Chẳng hạn:

$7,9=7+0,9$
$-7,9=-8+0,1$

Hơn nữa, cách viết như trên là duy nhất. Ta gọi số nguyên $n$ là phần nguyên của $x$ và kí hiệu là $[x]$; còn $z$ được gọi là phần phân của $x$ và kia hiệu là $\left \{ x \right \}$.

Từ phân tích, ta rút ra định nghĩa
Định nghĩa: Phần nguyên của số thực $x$, kí hiệu là $[x]$, là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Phần phân của số thực $x$ được định nghĩa bởi $\left \{ x \right \}=x-[x]$.

Ngoài cách gọi thông thường là phần nguyên (intergal part) của $x$ với kí hiệu là $[x]$, một số tác giả nước ngoài còn gọi đó là floor function và kí hiệu là $\left \lfloor x \right \rfloor$. Sở dĩ thế vì người ta nêu ro ceiling function - kí hiệu $\left \lceil x \right \rceil$, như định nghĩa sau đây

$\left \lceil x \right \rceil$ là số nguyên nhỏ nhất vượt quá $x$

Dễ dàng thấy rằng

$\left \lceil x \right \rceil=\left\{\begin{matrix}x=\left \lfloor x \right \rfloor ; x\in \mathbb{Z} & & \\ \left \lceil x \right \rceil+1 ; x\notin \mathbb{Z} & & \end{matrix}\right.$

B. TÍNH CHẤT

1) $x=[x]+\left \{ x \right \}$
2) $x=[x] \Leftrightarrow x \in \mathbb{Z}$
3) $x=\left \{ x \right \} \Leftrightarrow 0\le x < 1$
4) $x-1<[x] \le x$
5) Nếu $k$ nguyên thì

$[x+k]=[x]+k$ và $\left \{ x+k \right \}=\left \{ x \right \}+k$

Bạn hãy tập chứng minh những tính chất này đi!

Xin đưa thêm một số tính chất
6) $[x+y] \ge [x]+[y]$
7) $[x] \le x <[x]+1$
8) Nếu $x \ge y$ thì $[x] \ge [y]$

9) $0 \le \left \{ x \right \} <1$
10) $\left \{ x+y \right \} \le \left \{ x \right \} + \left \{ y \right \}$

Chứng minh tính chất 6
Viết $x=[x]+\left \{ x \right \}, y=[y]+\left \{ y \right \}$
Khi đó
$[x+y]=[([x]+[y])+(\left \{ x \right \}+\left \{ y \right \})]=[x]+[y]+[\left \{ x \right \}+\left \{ y \right \}]$. (1)
Vì $\left \{ x \right \} \ge 0$ và $\left \{ y \right \} \ge 0$ nên $[\left \{ x \right \}+\left \{ y \right \}] \ge 0$.
Kết hợp với (1) ta suy ra

$[x+y] \ge [x]+[y]$

Chứng minh tính chất 8
Vì $x \ge y$ nên $\exists \alpha \ge 0$ sao cho:

$x=y+\alpha$ hay $x=[y]+(\left \{ y \right \}+\alpha)$.

Suy ra $[x]=[y]+[(\left \{ y \right \}+\alpha)]$. (1)
Vì $\alpha \ge 0$ và $\left \{ y \right \} \ge 0$ nên $\left \{ y \right \}+\alpha \ge 0$ và $[(\left \{ y \right \}+ \alpha)] \ge 0$.
Kết hợp với (1) ta có $[x] \ge [y]$.

Xin giới thiệu thêm một số tính chất khá là thú vị
1) Giả sử $0<\alpha \in \mathbb{R}$ và $n \in \mathbb{N}$. Lúc đó $\left [ \dfrac{\alpha}{n} \right ]$ là số tất cả các số nguyên dương là bội của $n$ nhưng không vượt quá $\alpha$.
2) Giả sử $0<\alpha \in \mathbb{R}$ và $n \in \mathbb{N}$. Lúc đó,

$\left [ \dfrac{n}{\alpha} \right ]$

là số tất cả các số nguyên dương là bội của $\alpha$ nhưng không vượt quá $n$.
3) Nếu $a$ và $b$ là hai số không âm, thì

$[2a]+[2b] \ge [a]+[b] + [a+b]$