Đề bài : Cho a,b,c,d là số tự nhiên thỏa mãn đồng thời các điều kiện a>b>c>d và ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)
Chứng minh rằng ab+cd là hợp số
Lời giải :
Trước hết ta chứng minh bổ đề sau :
Bổ đề : nếu số nguyên dương a là một ước của tích $A=a_1.a_2⋯a_n$ với $a_i∈{N}*$ và $a>ai$, ∀i=1,2,…,n thì $a$ là hợp số.
Chứng minh. Giả sử ngược lại, a là số nguyên tốt. Khi đó, do $a\in Ư(A)$ nên trong các số ai phải có ít nhất một số $a_{j}$ chia hết cho $a$, tức ta phải có $a_{j} \geq a$ . Điều này mâu thuẫn với tính chất của số $a$, do đó nó phải là hợp số.
Trở lại bài toán:
Giả thiết của bài toán có thể được viết lại dưới dạng như sau:
$ac+bd=(b+d)^2-(a-c)^2$
hay $a^2-ac+c^2=b^2+bd+d^2$
Ta có
$(ab+cd)(ad+bc)=ac(b^2+d^2)+bd(a^2+c^2)$
$=ac(b^2+bd+d^2)+bd(a^2-ac+c^2)=(ac+bd)(b^2+bd+d^2)$
Ta có
$(ab+cd)(ad+bc)=ac(b^2+d^2)+bd(a^2+c^2)$
$=ac(b^2+bd+d^2)+bd(a^2-ac+c^2)=(ac+bd)(b^2+bd+d^2)$
Do đó $ac+bd$ là ước của $(ac+bd)(b^2+bd+d^2)$. Ta có đpcm.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét