Inequality 7: Chứng minh rằng $a+b+c^2+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\geq 6$

Đề Bài
Cho a,b,c là các số dương thoả mãn $a+b+ac+bc+abc+1=6c$
Chứng minh rằng $a+b+c^2+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\geq 6$

Lời giải 

Từ giả thiết suy ra $6=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+a+b+ab+\frac{1}{c}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$6=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+a+b+ab+\frac{1}{c}\geq 6\sqrt[6]{\frac{(ab)^{3}}{c^{3}}}$

$\Rightarrow 1\geq \frac{ab}{c}\Leftrightarrow c\geq ab.$

Ta có :

$VT\geq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{c}+\frac{2}{ab}\geq 2.(\sqrt{ab}+\sqrt{ab}+\frac{1}{ab})\geq 2.3.\sqrt[3]{\sqrt{ab}.\sqrt{ab}.\frac{1}{ab}}=6.$

Dấu "=" khi a=b=c=1. (Ta có đpcm)