Geometry 6: Tính diện tích tam gíác $BDF$ theo $R$

Đề Bài

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O,R). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O, R) (C, B là các tiếp điểm). Vẽ đường kính BD, tiếp tuyến tại D của (O) cắt BC tại E, AD cắt (O) tại P (P khác O)

 Chứng minh : $DC// OA$

B) OE cắt DP tại F. Chứng minh : tứ giác DFCE nội tiếp và EP là tiếp tuyến của (O)

C) Gọi $I'$ là giao điểm của OC và FB. Chứng minh : $I'F. I'B = I'O. I'C$

d) Khi $OA=2R$ . Tính diện tích tam gíác $BDF$ theo $R$

Lời Giải:

 a) $DC//OA$ (cùng vuông góc với BC)

 b) Gọi $I$ là giao điểm của $OA$ với $BC$

Ta có:

$AC^2=AI.AO=AP.AD\Rightarrow$ tứ giác $IPDO$ nội tiếp.

$\Rightarrow \angle AIP=\angle ADO$. $\Rightarrow 90-AIP=90-\angle ADO$ 

$\Leftrightarrow \angle PIE=\angle PDE$ $\Rightarrow$ tứ giác PIDE nôi tiếp

Lại có: $\angle PDE=\dfrac{1}{2} sđ PD=\dfrac{1}{2} \angle POD=\dfrac{1}{2}\angle PID$

 mặt khác $\angle PDE=\angle PIE$ $\Rightarrow \angle PIE=\angle EID=\angle PDE$

$\Rightarrow \angle DEF+\angle PDE=\angle DIO+\angle EID =90$

Suy ra $OF$ vuông góc $AD$. $\Rightarrow CFDE$ nội tiếp

  $\triangle OPE=\triangle ODE(c;g;c)$ $\Rightarrow \angle OPE=90$ nên OP tiếp tuyến (O)

c) Tứ giác $ABOF$ nội tiếp do $\angle ABO+\angle AFO=90$

Ta có 5 điểm $A,B,O,F,C$ cùng thuộc một đường tròn $\Rightarrow BOFC$ nội tiếp

Suy ra $I'F.I'B=I'O.I'C$

d) Ta có $AB=\sqrt{AO^2-OB^2}=R\sqrt{3}$
$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=R\sqrt{7}$
$\Rightarrow BP=\dfrac{AB.BD}{AD}=\dfrac{2\sqrt{21}R}{7}$
$PD=\dfrac{BD^2}{AD}=\dfrac{R.4\sqrt{7}}{7}\Rightarrow FD=\dfrac{2\sqrt{7}}{7}$ 
Từ đó ta có $S_{BFD}=\dfrac{BP.FD}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}R}{7}$