Inequality 6: Tìm max của $P=a+b+c$

Đề Bài
Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $5x^2+4y^2+3z^2+2xyz=60 (1)$
Tìm max của $P=x+y+z$

Lời Giải:
Giả sử tồn tại $x,y,z$ thỏa mãn phương trình $(1)$.Khi đó ta coi $(1)$ là phương trình bậc hai ẩn $z$
$$3z^2+2xyz+5x^2+4y^2-60=0$$
$\Delta =x^2y^2-15x^2-12y^2+180=(x^2-12)(y^2-15)$
Lúc này phương trình (1) có nghiệm $z=\dfrac{-xy \pm \sqrt{(x^2-12)(y^2-15)}}{3}$
 $\Rightarrow z \leq \dfrac{-xy+\sqrt{(x^2-12)(y^2-15)}}{3}=\dfrac{-xy+\sqrt{(12-x^2)(15-y^2)}}{3}$
(Do $z$ luôn bé hơn hoặc bằng nghiệm lớn) $\Rightarrow z \leq \dfrac{-2xy+(12-x^2)+(15-y^2)}{6}=\dfrac{-(x+y)^2+27}{6}$
$\Rightarrow x+y+z \leq \dfrac{-(x+y)^2+27+6(x+y)}{6}=\dfrac{-(x+y-3)^2+36}{6} \leq 6$
Dấu bằng xảy ra khi $(x;y;z)=(1;2;3)$
Vậy ta có $P_{max}=6$ đạt được khi $(x;y;z)=(1;2;3)$