Number theory 3 Chứng minh rằng $ab+cd$ là hợp số

BÀI 26 : SỐ HỌC : CHỨNG MINH AB+CD LÀ HỢP SỐ

08.02.2014 BY HIEUANGUYENTRUNG

Đề bài : Cho a,b,c,d  là số tự nhiên thỏa mãn đồng thời các điều kiện a>b>c>d và 

$ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)$

      Chứng minh rằng $ab+cd$ là hợp số 

Lời giải : 

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau :

Bổ đề : nếu số nguyên dương a là một ước của tích  $A=a_1.a_2⋯a_n với a_i∈{N}*$ và $a>a_i$, ∀i=1,2,…,n thì a là hợp số.

Chứng minh. Giả sử ngược lại, a là số nguyên tốt. Khi đó, do  nên trong các số ai phải có ít nhất một số  chia hết cho a, tức ta phải có  . Điều này mâu thuẫn với tính chất của số a, do đó nó phải là hợp số.

Trở lại bài toán:

Giả thiết của bài toán có thể được viết lại dưới dạng như sau:

hay 

Ta có

Do đó  là ước của 

Theo bổ đề trên, để chứng minh  là hợp số ta cần chứng minh

BĐT (1) hiển nhiên đúng do 

Từ giả thiết ta thấy

 thì 

 (vô lý)

 như thế ta có :

Vậy BĐT (2) đã được chứng minh xong ….bài toán đã được giải quyết !