Number theory 1 Giải phương trình nghiệm nguyên: $7^x=3.2^y+1$

Đề Bài
Giải phương trình nghiệm nguyên:
$$7^x=3.2^y+1$$

Lời Giải

Có đánh giá $7^x$ chia $4$ dư $3$ nếu $x$ lẻ và dư $1$ nếu $x$ chẵn. Phương trình đã cho tương đương:

$7^x-1=3.2^y$

Nếu $x$ lẻ thì $7^x-1$ chia $4$ dư $2$, mà với $y \geq 2$ thì $3.2^y$ chia hết cho $4$. Do đó $y=1$, ta được ngay cặp nghiệm:

$(x;y)=(1;1)$

Nếu $x$ chẵn tức $x=2z$ ( với $z$ nguyên dương), phương trình đầu có dạng:

$(7^z+1)(7^z-1)=3.2^y$                            $(*)$

Vì $2;3$ là các số nguyên tố, nên $(*)$ là dạng phân tích của $(7^z+1)(7^z-1)$ thành tích các thừa số nguyên tố.

Do $7^z-1$ chia $3$ dư $2$ nên $7^z+1=2^n$  $(**)$ với $n$ là số nguyên dương nào đó thỏa mãn.

Từ đó $7^z-1=2^n-2$. Vậy $(2)$ có dạng:

$2^n(2^n-2)=3.2^y \Rightarrow 2^{n+1}(2^{n-1}-1)=3.2^y$

Do $2^{n-1}-1$ không chia hết cho $2$ nên $2^{n-1}-1=3$ hay $n=3$. Thay vào $(**)$, ta có ngay $z=1$ hay $x=2$ và có luôn cặp nghiệm tiếp theo:

$(x;y)=(2;4)$

Vậy phương trình đã cho có $2$ cặp nghiệm nguyên dương: $(x;y)=(1;1);(2;4)$