Giải hệ: $\left\{\begin{matrix} a^3x+a^2y+az=1 (1)\\ b^3x+b^2y+bz=1 (2)\\ c^3x+c^2y+cz=1 (3)\end{matrix}\right.$

Đề bài

Cho $a;b;c$ là các số đôi một khác nhau và khác $0$. Giải hệ:  $\left\{\begin{matrix} a^3x+a^2y+az=1 (1)\\ b^3x+b^2y+bz=1 (2)\\ c^3x+c^2y+cz=1 (3)\end{matrix}\right.$

Lời giải:

Nhân $(1)$ với $b$ và $(2)$ với $a$ rồi trừ từng vế cho nhau, sau đó chia cho $a-b \neq 0$, ta được phương trình:

$ab(a+b)x+aby=-1$     $(4)$

Tương tự nhân $(1)$ với $c$ và $(3)$ với $a$ rồi trừ từng vế cho nhau sau đó chia cho $a-c \neq 0$ ta được:

$ac(a+c)x+acy=-1$    $(5)$

Nhần $(4)$ với $c$, nhân $(5)$ với $b$ rồi lại trừ từng vế cho nhau, sau đó chia cho $b-c \neq 0$, ta được:

$abcx=1 \Rightarrow x=\dfrac{1}{abc}$. Thay vào $(4)$ thu được $y=-\dfrac{a+b+c}{abc}$

Thay $x;y$ vào $(1)$ thu được $z=\frac{ab+bc+ca}{abc}$.

Vậy nghiệm của hệ đã cho là:

$(x;y;z)=(\dfrac{1}{abc};-\dfrac{a+b+c}{abc};\dfrac{ab+bc+ca}{abc})$