Inequality 3: Chứng minh rằng: max{$x_1,x_2,..,x_{n}$} $\geq \dfrac{\sum x_1}{n}+\dfrac{|x_1-x_2|+|x_2-x_3|+...+|x_{n-1}-x_{n}|+|x_{n}-x_1|}{2n}$

Đề bài

Cho $n$ số thực $x_1;x_2;...,x_{n}$ với $n\geq 3$

Kí hiệu max{$x_1,x_2,...,x_{n}$} là số lớn nhất trong các số $x_1,x_2,...,x_{n}$

Chứng minh rằng: 

max{$x_1,x_2,..,x_{n}$} $\geq \dfrac{\sum x_1}{n}+\dfrac{|x_1-x_2|+|x_2-x_3|+...+|x_{n-1}-x_{n}|+|x_{n}-x_1|}{2n}$

Lời giải

Ta có max{$x,y$}$=\dfrac{x+y+|x+y|}{2}$

từ đây ta có $\dfrac{ \sum x_1}{n}+\dfrac{|x_1-x_2|+...+|x_{n}-x_1|}{2n}$

$=\dfrac{max(x_1;x_2)+max(x_2;x_3)+...+max(x_{n};x_1)}{n} \leq $ max{$x_1;x_2;...;x_{n}$} (đpcm)