Geometry 3 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác LBD, AK và HS đồng quy

Nguồn tại đây

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB<AC) nội tiếp (O). Vẽ 2 đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H . Vẽ đường kính AI của (O). DE cắt (O) tại S(S thuộc cung nhỏ AC), SI cắt BC tại K. 

a) Chứng minh AK vuông góc với HS

b) HS cắt BC tại L . Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác LBD, AK và HS đồng quy

Lời giải : 

a)

Gọi giao điểm của  $AH$ với $BC$ là  $N$

Ta có

 $\angle ASK=\angle ASI= 90$ độ ( góc nội tiếp chắn nửa đt tâm O ) ,

Mà  $\angle AHK = 90$ độ nên suy ra tứ giác $ASKN$ nội tiếp

$\Rightarrow$ $\angle KAS =\angle SNK$ (1) .

Lại có: 

$\angle ADS +\angle ADE = 180$ độ ,và  $\angle ASC +\angle ABC = 180$ , mà $\angle ABC =\angle ADE$

$\Rightarrow \angle ADS =\angle ASC$

$\Rightarrow$ $\triangle ASD ~ \triangle ACS$

$\Rightarrow$  $AS^2 = AD.AC = AH.AN$

$\Rightarrow$ $\triangle ASH ~ \triangle ANS$

$\Rightarrow \angle ASH =\angle ANS$ (2) .

Từ (1) (2) ta có $\angle ASH +\angle KAS =\angle SNK + \angle ANS = 90$$\blacksquare .$ 

b)

 tứ giác CDPK nội tiếp do $AP.AK=AD.AC=AS^2$. Suy ra $\angle LBD=\angle LPD$ suy ra tứ giác $LBPD$ nội tiếp.

Suy ra đường tròn ngoại tiếp $\triangle LBD$ đi qua giao điểm của $AK$ và $HS$.$\blacksquare .$