Geometry 18: Chứng minh bất đẳng thức trong một bài toán hình học

Đề Bài: 
Cho lục giác lồi $ABCDEF$ thỏa mãn điều kiện $AB=BC$, $CD=DE$,$EF=FA$ và tổng độ dài 3 cạnh $AC,CE,AE$ bằng 3.
Chứng minh rằng: 
$$\dfrac{BC}{BE}+\dfrac{DE}{DA}+\dfrac{FA}{FC} \geq \dfrac{21}{16}+\dfrac{27(AC^3+CE^3+AE^2)}{16(AC+CE+AE)^3}$$

Lời giải 

Ta chuyển việc chứng minh bất đẳng thức trên về chứng minh bất đẳng thức sau.
$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq \dfrac{21}{16}+\dfrac{27(a^3+b^3+c^3)}{16(a+b+c)^3}$$ 
      Với $a+b+c=3$

Bất đẳng cần chứng minh tương đương với: 
$$\dfrac{a}{3-a}+\dfrac{b}{3-b}+\dfrac{c}{3-c} \geq \dfrac{21}{16}+\dfrac{(a^3+b^3+c^3)}{16}$$

Bằng cách sử dụng phương pháp Undefined Coeffient Technique (U.C.T) -phương pháp hệ số bất định. ta có bất đẳng thức phụ sau.
$$\dfrac{a}{3-a}\geq \dfrac{9a+a^3-2}{16} \Leftrightarrow (a-1)^2(a^2-a+6) \geq 0$$
Tương tự với các phân thức còn lại ta có điều phải chứng minh.