Cho lục giác lồi ABCDEF thỏa mãn điều kiện AB=BC, CD=DE,EF=FA và tổng độ dài 3 cạnh AC,CE,AE bằng 3.
Chứng minh rằng:
\dfrac{BC}{BE}+\dfrac{DE}{DA}+\dfrac{FA}{FC} \geq \dfrac{21}{16}+\dfrac{27(AC^3+CE^3+AE^2)}{16(AC+CE+AE)^3}
Lời giải
Ta chuyển việc chứng minh bất đẳng thức trên về chứng minh bất đẳng thức sau.
\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq \dfrac{21}{16}+\dfrac{27(a^3+b^3+c^3)}{16(a+b+c)^3}
Với a+b+c=3
Bất đẳng cần chứng minh tương đương với:
\dfrac{a}{3-a}+\dfrac{b}{3-b}+\dfrac{c}{3-c} \geq \dfrac{21}{16}+\dfrac{(a^3+b^3+c^3)}{16}
Bằng cách sử dụng phương pháp Undefined Coeffient Technique (U.C.T) -phương pháp hệ số bất định. ta có bất đẳng thức phụ sau.
\dfrac{a}{3-a}\geq \dfrac{9a+a^3-2}{16} \Leftrightarrow (a-1)^2(a^2-a+6) \geq 0
Tương tự với các phân thức còn lại ta có điều phải chứng minh.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét