Geometry 15 Trích đề thi toán chung vào lớp 10 chuyên Đại học sư phạm Hà Nội

 Đề bài:

 Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường kính $AC=2R$.Gọi $K$ và $M$ theo thứ tự là chân các đường cao hạ từ $A$ và $C$ xuống $BD$, $E$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, biết $K$ thuộc đoạn $BE$ ($K \neq B$,$K\neq E$).Đường thẳng qua $K$ song song với $BC$ cắt $AC$ tại $P$.

1. Chứng minh tứ giác $AKPD$ nội tiếp

2. Chứng minh $KP\perp PM$

3. Biết $\widehat{ABD}=60^{\circ}$ và $AK=x$.Tính $BD$ theo $R$ và $x$.

Lời giải

a) Xét tứ giác $AKPD$ có $\angle APK=\angle ACB$ (2 góc ở vị trí đồng vị)

mặt khác $\angle ACB =\angle ADK$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

$\Rightarrow \angle ADK=\angle APK$ $\Rightarrow$ $ADPK$ là tứ giác nội tiếp.

b) Theo câu a) tứ giác $AKPD$ nội tiếp $\Rightarrow \angle APD=\angle AKD=90$ độ 

và $\angle DKP=\angle DAP$

Xét tứ giác $DMPC$ có $\angle DMC=\angle DPC=90$ độ

$\Rightarrow DMPC$ là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \angle PMK=\angle DCA$

mà $\angle DCA+\angle DAC=90$ độ $\angle PMK+\angle PKM=90$ độ

$\Rightarrow KP\perp PM$ (đpcm)

c) Ta có 

Xét tam giác ADC vuông tại D có $\angle ACD=\angle ABD=60$ độ nên

    $AD=2R.sin$ $60=R\sqrt{3}$

    $CD=2R.cos$ $60=R$

Xét tam giác vuông $AKB$

   $AB=\dfrac{AK}{sin 60}=\dfrac{2\sqrt{3}x}{3}$

Xét tam giác ABC vuông tại C

    $BC=\sqrt{4R^2-\dfrac{4x^2}{3}}$ 

Từ đây áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp ABCD ta có 

$AC.BD=AD.BC+AB.CD$

$\Leftrightarrow 2R.BD=R\sqrt{3}.\sqrt{4R^2-\dfrac{4x^2}{3}}+\dfrac{2\sqrt{3}x}{3}.R$

$\Leftrightarrow BD=\sqrt{3R^2-x^2}+\frac{x}{\sqrt{3}}$