Geometry 16: Chứng minh K là trung điểm của HJ.

Đề bài 
Cho đường thẳng (d) không cắt đường tròn (O;R). Vẽ OH vuông góc với (d), trên (d) lấy điểm M tùy ý, vẽ tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O), AB cắt MO, OH thứ tự tai I, J. Gọi P, Q, R thứ tự là hình chiếu của H trên MA, MB, AB.

• a) Chứng minh tứ giác MIJH nội tiếp và OI.OM = OJ.OH.
• b) Chứng minh AB luôn đi qua một điểm cố định.
• c) Chứng minh ba điểm P, Q, R thẳng hàng.
• d) PR cắt OH tịa K. Chứng minh K là trung điểm của HJ.

Lời giải:

a) Dễ chứng minh được tứ giác $IJHM$ nội tiếp $\Rightarrow OI.OM=OJ.OH$

b)Từ câu a) $\Rightarrow OJ=\dfrac{OI.OM}{OH}=\dfrac{OB^2}{OH}=\dfrac{R^2}{OH}$ (Không đổi)

$\Rightarrow AB$ đi qua $J$ cố định.

c) Tứ giác $ARPH$ nội tiếp $\Rightarrow \angle RPH+\angle RAH =180$

    Tứ giác $HPMQ$ nội tiếp $\Rightarrow \angle HPQ=\angle HMQ$

Ta có 

• Tứ giác $OAHM$ nội tiếp ($\angle OAM=\angle OHM=90$ ) 

$\Rightarrow$ 4 điểm $O;A;H;M$ cùng thuộc một đường tròn.

• Tứ giác $OBMH$ nội tiếp ($\angle OBM+\angle OHM=180$)

$\Rightarrow$ 4 điểm $O;B;M;H$ cùng thuộc một đường tròn.

$\Rightarrow$ 4 điểm $A;B;M;H$ cùng thuộc một đường tròn.

$\Rightarrow$ $\angle HMQ=\angle HAB$

lại có : 

       $\angle RPH+\angle HPQ=\angle RPH + \angle HMQ=\angle RPH +\angle HAB =180$

$\Rightarrow$ $R;P;Q$ thẳng hàng.

d) Tứ giác $OHMB$ nội tiếp $\Rightarrow$  $\angle HOM=\angle HBM$

Xét $\triangle RPH$ và $\triangle BMH$ có :

 $\angle BMH =180-\angle HMQ$  ; $\angle RPH=180-\angle HPQ$

mà $\angle HPQ=\angle HMQ$ (do tứ giác $HPMQ$ nội tiếp.)

Mặt khác: 

$\angle RHP=\angle RAP$ (do tứ giác $RAHP$ nội tiếp)

và $\angle RAP=\angle BHM$ (do tứ giác $BAHM$ nội tiếp)

$\Rightarrow$ $\angle RHP=\angle HBM=\angle HOM$

$\Rightarrow$ $90-\angle RHP=90-\angle HOM$

$\Rightarrow \angle KRJ=\angle OMH$

mà $\angle OMH=\angle RJK$ (do tứ giác $IJHM$ nội tiếp )

$\Rightarrow$ $\angle KRJ=\angle RJK$

$\Rightarrow$ $\triangle RKH$ cân tại $K$ $\Rightarrow RK=KJ$ 

Xét tam giác $JRH$ vuông có $RK=KJ$ nên $RK$ là đường trung tuyến.

$\Rightarrow K$ trung điểm $JH$ 

Bài toán đã giải quyết xong.