Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Đại Học Vinh môn toán (vòng 2) Năm Học 2014-2015

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Đại Học Vinh môn toán (vòng 2)

Năm Học 2014-2015

Câu 1: Giải các phương trình sau

a) $\dfrac{3}{x^2-2x}+\dfrac{4}{(x-1)^2}=5$

b) $\sqrt{x}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{4x-1}$

Câu 2: Tìm các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn $p^2=8q+9$

Câu 3: Giả sử $n$ là một số nguyên dương và $a_1,a_2,..a_{n}$ là các số nguyên lẻ.

      Đặt $A_{n}=a_1^4+a_2^4+...+a_{n}^4$. Chứng minh rằng $A_{n}$ chai hết cho 16 khi và chỉ khi $n$ chia hết cho 16

Câu 4: Giả sử $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y+z+xyz=4$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=xy+yz+zx$

Câu 5 : Cho đường tròn $(O;R)$ và $AB$ là một dây cung của đường tròn đó $(AB<2R)$. $M$ là điểm thuộc cung lớn $AB$ (M khác A và B). Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $AB$.

a) Chứng minh rằng $\angle AMH=\angle BMO$

b) Gọi $I$ là điểm chính giữa cung nhỏ $AB$, $J$ là giao điểm của $MI$ và $AB$.

CHứng minh rằng $MA.MB=MI.MJ$

c) Gọi $K$ là điểm đối xứng với $I$ qua $O$.Chứng minh rằng đường thẳng $BK$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp $MJB$