Inequality 10: Tìm giá trị lớn nhất của $P=xy+yz+zx$

Đề Bài:

Giả sử $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y+z+xyz=4$

Tìm giá trị lớn nhất của $P=xy+yz+zx$

Lời giải: 

Cách 1: 

Không mất tính tổng quát giả sử x là số nhỏ nhất

Xét 2 trường hợp sau

TH1: yz$\leq 1$

Suy ra xy,xz$\leq 1$ hay P$\leq 3$

TH2: yz>1

Suy ra $xyz\geq x => 4=x+y+z+xyz\geq x+y+x+z$
$\geq 2\sqrt{(x+y)(x+z)}=2\sqrt{x^{2}+P}\geq 2\sqrt{P}$

Hay $P\leq 4$

Vậy Max $P=4$ <=>$\left\{\begin{matrix} xyz=x & & \\ x^{2}=0 & & \\ x+y=x+z & & \\ x+y+z+xyz=4 & & \end{matrix}\right.$

<=>$x=0,y=z=2$ và các hoán vị

Cách 2

Giả sử x=max{x;y;z}

$\Rightarrow x+y+z \leq  3x$ và $xyz \leq x^3$

$\Rightarrow x^3+3x \geq 4$ $\Leftrightarrow (x-1)(x^2+x+4) \geq 0$

$\Rightarrow x \geq 1$

Ta có $P=x(x+y+z)+yz-x^2=x(4-xyz)+yz-x^2=-(x-2)^2+4+yz(1-x^2) \leq 4$

Vậy $P_{max}=4$ khi $x,y,z$ là hoán vị của $(2;2;0)$

Cách 3

Giả sử z là số bé nhất trong 3 số x,y,z

Ta có $z\leq 1$

$0\leq z\leq 1\Rightarrow 0\leq 1-z\leq 1$

nếu $(x-1)(y-1)\leq 0$

$\Rightarrow (x-1)(y-1)(z-1)\geq 0 (1)$

nếu $(x-1)(y-1)\geq 0$

ta có $x+y\leq 4$

$\Rightarrow (x+y)^{2}\leq4( x+y)$

$\Rightarrow$ $4(x+y)\geq 4xy$

$xy-x-y+1\leq 1$

$(x-1)(y-1)\leq 1$

$\Rightarrow (x-1)(y-1)(1-z)\leq 1$

$\Rightarrow (x-1)(y-1)(z-1)\geq -1(2)$

từ (1) và (2) ta có

$(x-1)(y-1)(z-1)\geq -1$

$\Leftrightarrow xy+yz+zx\leq xyz+z+x+y= 4$

Dấu = xảy ta khi x=y=2,z=0