Inequality 11: Chứng minh rằng $\dfrac{a}{b+2}+\dfrac{b}{c+2}+\dfrac{c}{a+2} \leq 1$

Đề Bài:

Cho $a,b,c \geq 0$ thảo mãn: $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh rằng

$$\dfrac{a}{b+2}+\dfrac{b}{c+2}+\dfrac{c}{a+2} \leq 1$$

Lời Giải:

Quy đồng lên và rút gọn ta có  BĐT cần chứng minh là

$$a^2c+ab^2+bc^2-abc \leq 2$$

Do bất đẳng thức mang tính hoán vị nên giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$

Khi đó ta có:
$$a(a-b)(c-b) \leq 0$$

$$\Leftrightarrow a^2c+ab^2-abc \leq a^2b$$

Áp dụng điều này ta có

 $a^2c+ab^2+bc^2-abc \leq a^2b+bc^2=b(3-b^2)$

                                                         $=-(b^3-3b+2-2)=2-(a-1)^2(a+2) \leq 2$

Ta có điều phải chứng minh.