Thảo luận và tải chuyên đề gốc ở đây
Giải Phương Trình, Hệ Phương Trình Bằng Bất Đẳng Thức
A.Lời nói đầu:
B. Một số kiến thức cần lưu ý:
Ta cần chú ý một số bất đẳng thức căn bản quen thuộc sau:
1. |A|=|−A|≥0 . Dấu “= ” xảy ra ⇔A=0
2. |A|≥A . Dấu bằng xảy ra khi ⇔A≥0
3. a2≥0∀a . Dấu "=" có khi: a=0 .
4. |a|≥a∀a . Dấu "=" có khi: a≥0 .
5. |a|+|b|≥|a+b| . Dấu "=" có khi: ab≥0 .
6. |a|−|b|≤|a−b| . Dấu "=" có khi: {ab≥0|a|≥|b| .
7. a2+b2≥2ab . Dấu "=" có khi: a=b
8. (a+b)2≥4ab⇔ab≤((a+b)2)2 . Dấu "=" có khi: a=−b .
9. 1a+1b≥4a+b(a;b>0) . Dấu "=" có khi: a=b .
10. ab+ba≥2(ab>0) . Dấu "=" có khi: a=b .
11. Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM):
Với n số thực dương: a1;a2;...;an
Dạng1 a1+a2+...+ann≥a1a2...an−−−−−−−−√n
Dạng 2 a1+a2+...+an≥na1a2...an−−−−−−−−√n
Dạng 3 (a1+a2+...+ann)n≥a1a2...an
Dấu "=" có khi: a1=a2=...=an
12. Bất đẳng thức BCS (Bunhiakovsky):
Với 2 bộ số thực bất kì: (a1;a2;...;an );(b1;b2;...;bn ):
Dạng 1:(a1b1+a2b2+...+anbn)2≤(a21+a22+...+a2n)(b21+b22+...+b2n)
Dạng 1:
Dạng 2: |a1b1+a2b2+...+anbn|≤a21+a22+...+a2n)(b21+b22+...+b2n−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
Dấu "=" có khi: a1b1=a2b2=...=anbn
Dạng 3: a1b1+a2b2+...+anbn≤(a21+a22+...+a2n)(b21+b22+...+b2n)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
Dấu "=" có khI: a1b1=a2b2=...=anbn>0
13. Bất đẳng thức BCS dạng cộng mẫu: (Cauchy-Swarchz)
Với ∀xi>0;i=1,n¯¯¯¯¯ ta có:
Chứng minh: Xét (a1+a2+...+an)2=(a1x1−−√.x1−−√+a2x2−−√.x2−−√+...+anxn−−√.xn−−√)2≤(a21x1+a22x2+...+a2nxn)(x1+x2+...+xn) (Áp dụng BCS)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
14. Bất đẳng thức Minkopsky:
Cho 2 dãy số thực dương: (a1;a2;...;an);(b1;b2;...;bn) ta có:
Dấu "=" xảy ra khi: a1b1=a2b2=...=anbn .
15. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
Cho số thực a>0 , mn là một số hữu tỉ, trong đó m,n∈N∗,n>1
Thì lũy thừa của a với số mũ mn là amn=am−−−√n
C. Các bài toán giải phương trình bằng bất đẳng thức.
Ta cùng đến với một số bài toán lý thú sau :
Bài toán 1 Giải phương trình
$2(\frac{{{x}^{10}}}{{{y}^{2}}}+\frac{{{y}^{10}}}{{{x}^{2}}})+{{x}^{16}}+{{y}^{16}}=4{{(1+{{x}^{2}}{{y}^{2}})}^{2}}-10$
Lời giải : Điều kiện: $x,y \neq 0$
Áp dung bất đẳng thức cauchy cho 4 số dương ta có:
$$\dfrac{x^{10}}{y^2}+\dfrac{y^{10}}{x^2}+1+1 \geq 4.\sqrt[4]{\dfrac{x^{10}.y^{10}}{x^2.y^2}}=4x^2y^2$$
$$\Rightarrow 2(\frac{{{x}^{10}}}{{{y}^{2}}}+\frac{{{y}^{10}}}{{{x}^{2}}}+2)\ge 8{{x}^{2}}{{y}^{2}}$$
Và: $${{x}^{16}}+{{y}^{16}}+1+1\ge 4.\sqrt[4]{{{x}^{16}}.{{y}^{16}}}=4{{x}^{4}}{{y}^{4}}$$
$$\Rightarrow 2(\frac{{{x}^{10}}}{{{y}^{2}}}+\frac{{{y}^{10}}}{{{x}^{2}}}+2)+{{x}^{16}}+{{y}^{16}}+2\ge 4{{x}^{4}}{{y}^{4}}+8{{x}^{2}}{{y}^{2}}$$
$$\Rightarrow 2(\frac{{{x}^{10}}}{{{y}^{2}}}+\frac{{{y}^{10}}}{{{x}^{2}}})+{{x}^{16}}+{{y}^{16}}\ge 4{{(1+{{x}^{2}}{{y}^{2}})}^{2}}-10$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
$x^2=y^2=1 \Leftrightarrow |x|=|y|=1$
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm $(x;y)$ là :
$(1;1),(-1;-1),(1;-1),(-1;1)$
Bài toán 2 Giải phương trình
$x^4+4=2\sqrt{x^4+4}+2\sqrt{x^4-4}$
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho hai số không âm ta có:
$$x^4+4\geq 4x^2$$ (1)
Theo BĐT cauchy-schwarz ta có:
$$(a+b) \leq 2(a^2+b^2)$ $\Leftrightarrow a+b \leq \sqrt{2(a^2+b^2)}$$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b \geq 0$
Trở lại bài toán, áp dụng BĐT trên ta có :
$$2\sqrt{{{x}^{4}}+4}+2\sqrt{{{x}^{4}}-4}\le \sqrt{2[4({{x}^{4}}+4)+4({{x}^{4}}-4)]}\Leftrightarrow 2\sqrt{{{x}^{4}}+4}+2\sqrt{{{x}^{4}}-4}\le 4{{x}^{2}}$$ (2)
Từ $(1);(2)$ ta có dấu bằng xảy ra khi:
$$\left\{\begin{matrix} x^4=4 & & \\ 2\sqrt{x^4+4}=2\sqrt{x^4-4} & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x \in \oslash$$
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài toán 3 Giải phương trình:
$2\sqrt[4]{27x^2+24x+\dfrac{28}{3}}=1+\sqrt{\dfrac{27}{2}x+6}$
Lời giải
Ta có: $2\sqrt[4]{27{{x}^{2}}+24x+\frac{28}{3}}=1+\sqrt{\frac{3(9x+4)}{2}}\text{ }\Leftrightarrow \sqrt[4]{\frac{{{(9x+4)}^{2}}}{3}+4}=1+\sqrt{\frac{3(9x+4)}{2}}(1)$
Điều kiện: $9x+4=y \geq 0$. Khi đó $(1)$ trở thành:
$2\sqrt[4]{\dfrac{y^2}{3}+4}=1+\sqrt{\dfrac{3y}{2}}\Leftrightarrow 4\sqrt{\dfrac{y^2}{3}+4}=1+\dfrac{3y}{2}+\sqrt{6y}$
Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có
$\sqrt{6y} \leq \dfrac{6+y}{2}$ $\Rightarrow 4\sqrt{\dfrac{y^2}{3}+4} \leq 2y+4$
$\Leftrightarrow 4(\dfrac{y^3}{3}+4)\leq (y+2)^2\Leftrightarrow \dfrac{(y-6)^2}{3} \leq 0$
Ta lại có: $(y-6)^2 \geq 0$ nên $y=6$
Từ đó $x=\dfrac{y-4}{9}=\dfrac{2}{9}$ thỏa mãn điều kiện ban đầu.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=\dfrac{2}{9}$
Bài toán 4 Giải phương trình
$13\sqrt{x^2-x^4}+9\sqrt{x^2+x^4}=16$
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có :
$\sqrt{4(1-x^2)x^2} \leq \dfrac{4(1-x^2)+x^2}{2}=\dfrac{4-3x^2}{2}$
$\Rightarrow 13\sqrt{x^2-x^4} \leq \dfrac{52-39x^2}{4} (1)$
Tương tự: $\sqrt{9x^2.4(1+x^2)} \leq \dfrac{13x^2+4}{2}$
$\Rightarrow 9\sqrt{x^2+x^4} \leq \dfrac{39x^2+12}{4} (2)$
Cộng vế theo vế của $(1)$ và $(2)$ ta có $13\sqrt{x^2-x^4}+9\sqrt{x^2+x^4} \leq 16$
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} 4(1-x^2)=x^2 & & \\ 9x^2=4(1+x^2) & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
Nhận xét: bạn đọc có thể giải bài toán trên bằng phương pháp dùng BĐT Cauchy schwarzt:
$VT^2 \leq (13+27)[13(x^2-x^4)+3(x^2+x^4)]=80(8x^2-5x^4)=80[\dfrac{16}{5}-5(x^2-\dfrac{4}{5})^2] \leq 16^2$......
Bài toán 5 Giải phương trình
$\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{3x^2+4x+1}$
Lời giải Tập xác định
$x^2+2x \geq 0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x\geq 0 & & \\ x \leq -2 & & \end{bmatrix} \\2x-1 \geq \Leftrightarrow x \geq \dfrac{1}{2} \\3x^2+4x+1 \geq 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x \leq -1 & & \\ x \geq \dfrac{1}{3} & & \end{bmatrix}$
Ta có tập xác định là {$x \in \mathbb{R}|x\geq \dfrac{1}{2}$}
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy schwarz ta có:
$\sqrt{x}.\sqrt{x+2}+1.\sqrt{2x-1}\le \sqrt{\sqrt{{{x}^{2}}}+1}.\sqrt{\sqrt{{{(x+2)}^{2}}}.\sqrt{{{(2x-1)}^{2}}}}=\sqrt{(x+1)(x+2+2x-1)}=\sqrt{3{{x}^{2}}+4x+1}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}}=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\Leftrightarrow \sqrt{2{{x}^{2}}-x}=\sqrt{x+2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+1=0\text{ }\Leftrightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
(do $x \geq \dfrac{1}{2}$)
Vậy phương trình có nghiệm là $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét