Geometry 1 Chứng minh $\dfrac{1}{3}< \dfrac{r}{R}< \dfrac{1}{2}$

Đề Bài:

Cho nửa đường tròn đường kính $AB$. $M$ thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại $M$ cắt tiếp tuyến tại $A;B$ lần lượt ở $E;F$.

$a/$ Kẻ $MH$ vuông góc $AB$; $MH$ cắt $EB$ tại $K$. $Cm$: $KM=KH$

$b/$ $AB=2R$; Gọi $r$ là bán kính nội tam giác $EOF$. $Cm$: $\dfrac{1}{3}< \dfrac{r}{R}< \dfrac{1}{2}$

Câu a,b OK rồi phải không?

Câu c) 

Áp dụng định lý Talet thì 

$\dfrac{KM}{BF}=\dfrac{EM}{EF}\Rightarrow KM=\dfrac{EM.BF}{EF}$

Tương tự $KH=\dfrac{BK.EA}{EK}$

Suy ra $\dfrac{KM}{KH}=\dfrac{EM.BF.EK}{EF.BK.EA}=\dfrac{BF.EK}{EF.BK}=\dfrac{MF}{EF}.\dfrac{EK}{BK}=\dfrac{BK}{EK}.\dfrac{EK}{BK}=1$ (do $EA=EM$ theo tính chất tiếp tuyến) 

Ta có đpcm.$\blacksquare$

Câu d) Cách 1: Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác COD, Kẻ OH vuông góc CD

Kẻ $IQ,IP,IC,ID$ lần luợt vuông góc với $OM,EF,EO,FO$

Dễ dàng chứng minh $OM=OA=OB=R$

Dễ thấy tứ giác $IQMP$ là hình chữ nhật. một chút biến đổi là ra

Cách 2:

Đặt $EF=a;OE=b;OF=c$. Ta có $a.R=(a+b+c)r$

$\dfrac{r}{R}=\dfrac{a}{a+b+c}<\dfrac{a}{a+a}=\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{a}{a+b+c}>\dfrac{a}{a+a+a}=\dfrac{1}{3}$ (  đơn giản nhẹ nhàng)

ta có đpcm .$\blacksquare$