Inequality 2:Chứng minh:$\frac{\sqrt{x}}{1+y}+\frac{\sqrt{y}}{1+x}\leq \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Đề Bài:

Cho $0\leq x,y\leq \dfrac{1}{2}$. Chứng minh:$\dfrac{\sqrt{x}}{1+y}+\dfrac{\sqrt{y}}{1+x}\leq \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

Lời Giải:

Cách 1: Bất Đẳng thức cần chứng minh

$\Leftrightarrow \sum \dfrac{2\sqrt{\dfrac{x}{2}}}{y+1} \leq \dfrac{4}{3}$

Lại có $\sum \dfrac{2\sqrt{\dfrac{x}{2}}}{y+1} \leq \sum \dfrac{x+\dfrac{1}{2}}{y+1}$

Ta cần chứng minh

         $\sum \dfrac{x+\dfrac{1}{2}}{y+1} \leq \dfrac{8}{3}$

        $\Leftrightarrow \sum \dfrac{2x+1}{y+1} \leq \dfrac{8}{3}$

       $\Leftrightarrow  \dfrac{(2x+1)(x+1)+(2y+1)(y+1)}{(x+1)(y+1)} \leq \dfrac{8}{3}$

        $\Leftrightarrow \dfrac{2x^2+3x+2y^2+3y+2}{xy+x+y+1} \leq \dfrac{8}{3}$

        $\Leftrightarrow 6x^2+6y^2+9x+9y+6 \leq 8xy+8x+8y+8$

       $\Leftrightarrow 6x^2+6y^2+x+y-8xy-2 \leq 0$

       $\Leftrightarrow 3x(2x-1)+3y(2y-1)-8xy+4x+4y-2 \leq 0$

         $\Leftrightarrow 3x(2x-1)+3y(2y-1)-2(2x-1)(2y-1) \leq 0$

Vì $0 \leq x;y \leq \dfrac{1}{2}$ nên bất đẳng thức trên luôn đúng

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}$ $\blacksquare.$

Cách 2:

Ta có: 

$\frac{\sqrt{x}}{1+y}+\dfrac{\sqrt{y}}{1+x}=\dfrac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+\sqrt{x}+\sqrt{y}}{xy+x+y+1}$

Vì $0 \le x,y \le 0,5$ suy ra $(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-x)(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-y) \geq 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y} \le \dfrac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{2xy}$ (1)

mặt khác $x\sqrt{x}+y\sqrt{y} \le \dfrac{x+y}{\sqrt{2}}$ (2)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có : 

$\sqrt{xy} \leq xy+\dfrac{1}{4} \Rightarrow \dfrac{2\sqrt{2xy}}{3} \leq \dfrac{2\sqrt{2}xy}{3}+\dfrac{\sqrt{2}}{6}$(3)

và 

$\sqrt{xy} \leq \dfrac{x+y}{2} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{2xy}}{3} \leq \dfrac{\sqrt{2}(x+y)}{3}$ (4)

Cộng vế theo vế $(3)$ và $(4)$ ta có : 

$\sqrt{2xy} \leq \dfrac{2\sqrt{2}xy}{3}+\dfrac{\sqrt{2}(x+y)}{6}+\dfrac{\sqrt{2}}{6}$ (5)

Thay $(5)$ vào $(1)$ rồi cộng với (2) ta được : $x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+\sqrt{x}+\sqrt{y} \leq \dfrac{2\sqrt{2}}{3}(xy+x+y+1)$

Ta có đpcm $\blacksquare.$