Cho các số a;b;c;\alpha;\beta;\gamma thỏa mãn hệ: \left\{\begin{matrix} a+b+c=0\\ \alpha+\beta+\gamma=0\\ \dfrac{\alpha}{a}+\dfrac{\beta}{b}+\dfrac{\gamma}{c}=0 \end{matrix}\right. Tính giá trị biểu thức P=\alpha a^2+\beta b^2 +\gamma c^2
Lời giải:
ĐK: a;b;c\neq 0
Có:
+) PT1\Rightarrow c=-(a+b)
+) PT2\Rightarrow \gamma =-(\alpha +\beta )
+) PT3\Rightarrow \alpha .bc+\beta .ca+\gamma .ab=\alpha .b.\left [-(a+b) \right ]+\beta .a.\left [-(a+b) \right ]+\left [ -(\alpha +\beta ) \right ].ab=0
\Leftrightarrow (a+b)(\alpha b+\beta a)+ab(\alpha +\beta )=0
\Leftrightarrow \alpha b^2+\beta a^2+2ab(\alpha +\beta )=0
\Leftrightarrow (a+b)(\alpha b+\beta a)+ab(\alpha +\beta )=0
\Leftrightarrow \alpha b^2+\beta a^2+2ab(\alpha +\beta )=0
\Leftrightarrow \alpha b^2+\beta a^2-2ab\gamma =0
Chứng minh tương tự ta cũng có
\beta c^2+\gamma b^2-2bc\alpha =0;\gamma a^2+\alpha c^2-2ca\beta =0
Cộng 3 đẳng thức trên lại ta có:
(\alpha +\beta )c^2+(\gamma +\alpha )b^2+(\beta +\gamma )a^2-2(bc\alpha +ca\beta +ab\gamma )=0
\Leftrightarrow \alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2+2(bc\alpha +ca\beta +ab\gamma )=0
\Leftrightarrow \alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2+2abc\left (\dfrac{\alpha }{a}+\dfrac{\beta }{b}+\dfrac{\gamma c}{c} \right )=0
\Leftrightarrow \alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2+2(bc\alpha +ca\beta +ab\gamma )=0
\Leftrightarrow \alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2+2abc\left (\dfrac{\alpha }{a}+\dfrac{\beta }{b}+\dfrac{\gamma c}{c} \right )=0
\Leftrightarrow P=\alpha a^2+\beta b^2 +\gamma c^2=0 (đpcm)
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét