Đề bài: (Đề thi vòng 1 toán đại học sư phạm Hà Nội năm học 2013-2014)

Cho a,b,c là các  số thực thoả mãn a khác 0 và khác b và

phương trình $x^2+ax+1=0$ và $x^2+bx+c=0$ có 1 nghiệm chung

phương trình $x^2+x+a=0$ và $x^2+cx+b=0$ có 1 nghiệm chung

Tính $\boxed{a+b+c}$

Lời giải

Trước hết ta nhận xét rằng, do $a,b,c$ là 3 số khác nhau nên các phương trình chỉ có 1 nghiệm chung

Gọi $x_{0}$ là nghiệm chung của pt $x^2+ax+1=0$ và $x^2+bx+c=0$

      $x_{1}$ là nghiệm chung của pt $x^2+x+a=0$ và $x^2+cx+b=0$

Ta có

$x_{0}^{2}+ax_{0}+1-\left ( x_{0}^{2}+bx_{0}+c \right )=0$

$\Leftrightarrow \left ( a-b \right )x_{0}=(c-1)$

$\Leftrightarrow x_{0}=\dfrac{c-1}{a-b}$ (do $a,b,c$ là 3 số khác nhau)

Thay vào pt $x_{0}^{2}+ax_{0}+1$

 ta có $\left ( \dfrac{c-1}{a-b} \right )^2+a.\dfrac{c-1}{a-b}+1=0$

$\Leftrightarrow (c-1)^2+a(c-1)(a-b)+(a-b)^2=0$ (1)

Tương tự ta có $(c-1)x_{1}=(a-b)$

nếu $c=1$ thì $a-b=0$ $\Rightarrow$ vô lí (vì $a,b,c$ là 3 số khác nhau) $\Rightarrow$ $c\neq 1$

nên $x_{1}=\frac{a-b}{c-1}$

Thay vào tương tự như trên ta có $(a-b)^2+(c-1)(a-b)+a(c-1)^2=0$ (2)

Lấy (1) - (2) ta có $(c-1)(a-1)(a-b-c+1)=0$ (3)

Nếu $a=1$ thì pt $x^2+x+1$ vô nghiệm nên $a\neq 1$

Suy ra (3)$\Leftrightarrow a-b=c-1$

Suy ra $x_{0}=1$

Thay vào pt $x_{0}^{2}+ax_{0}+1=0$ và $x_{0}^{2}+bx_{0}+c=0$ ta có $\left\{\begin{matrix} a=-2 & \\ b+c=-1& \end{matrix}\right.$

Suy ra $a+b+c=-3$

_______________________
Cách khác:
Tìm ra $x_0;x_1$ để ý thấy $x_0.x_1=1$ 

$\Rightarrow x_0=\frac{1}{x_1}$ Thay vào 2 pt của 2 hệ ban đầu