Inequality 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của: $P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$

Đề bài:

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^3+4xy \geq2$.Tìm giá trị nhỏ nhất của : 

$$P=3(x^4+y^4+x^2y^2)-2(x^2+y^2)+1)$$

Lời Giải: 

$\triangleright$Ta xét BĐT sau: $(x-y)^2 \geq 0$ $\Leftrightarrow (x+y)^2-4xy \geq 0$

$\triangleright$Kết hợp giả thiết $(x+y)^3+4xy \geq 2$ ta suy ra $(x+y)^3+(x+y)^2 \geq 2$.  

Đặt $a=x+y$ ta có $a^3+a^2-2 \geq$ $(a-1)(a^2+2a+2) \geq 0 \Leftrightarrow a \geq 1$ (do $a^2+2a+2=(a+1)^2+1>0$ với mọi $a$)

Như vậy $a \geq 1$

Lại có $P=3[(x^2+y^2)^2-x^2y^2]-2(x^2+y^2)+1=3(x^2+y^2)^2-3x^2y^2-2(x^2+y^2)+1$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có : 

$x^2+y^2 \geq \dfrac{(x+y)^2}{2}=\dfrac{a^2}{2} \geq \dfrac{1}{2}$

$x^2y^2 \leq \dfrac{(x^2+y^2)^2}{4}$

nên $P \geq 3(x^2+y^2)^2-\dfrac{3(x^2+y^2)^2}{4}-2(x^2+y^2)+1$

Đặt $b=x^2+y^2$ $\Rightarrow b \geq \dfrac{1}{2}$

thì $P \geq \dfrac{9}{4}b^2-2b+1=2(b-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{1}{4}b^2+\dfrac{1}{2} \geq \dfrac{1}{4}b^2+\dfrac{1}{2}\geq \dfrac{9}{16}$

$P=\dfrac{9}{16}$ đạt được khi $x=y=\dfrac{1}{2}$

$\star$Vậy $P_{min}=\frac{9}{16}$ đạt được khi $x=y=\dfrac{1}{2}$ $\blacksquare$