Inequality 9 Korean MO năm 2001

Đề bài: ( Korean MO năm 2001)

Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh:

$\sqrt{(a^2b + b^2c + c^2a)(ab^2 + bc^2 + ca^2)} \geq abc + \sqrt[3]{(a^3 + abc)(b^3 + abc)(c^3 + abc)}$

Lời giải

Không mất tính tổng quát giả sử

$$ab^2+bc^2+ca^2 \geq a^2b+b^2c+c^2a$$

Bất đẳng thức cần chứng minh là:

$$a^2b + b^2c + c^2a \geq  abc + \sqrt[3]{(a^3 + abc)(b^3 + abc)(c^3 + abc)}$$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$$abc\leq \dfrac{a^2b+b^2c+c^2a}{3} (1)$$

và $\sqrt[3]{(a^3 + abc)(b^3 + abc)(c^3 + abc)}=\sqrt[3]{b(a^2+bc)c(b^2+ac)a(c^2+ab)}$

$\leq \dfrac{b(a^2+ac)+a(c^2+ab)+c(b^2+ac)}{3}=\dfrac{2(a^2b+b^2c+c^2a)}{3}$ (2)

Cộng (1) và (2) veed theo vế ta có điều phải chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$