Geometry 17: Chứng minh tam giác ABC cân tại A

Đề bài

Cho (O,R) dây cung AB<2R Tiếp tuyến Ax,By của (O) cắt nhau tại M . I là trung điểm của MA K là giao điểm của BI với (O); MK cắt (O) tại C

Chứng minh tam giác ABC cân tại A

Lời Giải:

Nhận xét: Bằng quan sát nhận thấy $AM//BC$.Đó chính là chìa khóa của bài toán.

Ta có: $IK.IB=IA^2=IM^2$ $\Rightarrow \dfrac{IM}{IK}=\dfrac{IB}{IM}$

$\Rightarrow \triangle IKM ~ \triangle IMB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \angle IMK =\angle IBM$

Mặt khác $\angle IBM=\angle BCK$ (bằng một nửa số đo cung $BK$)

Từ đó suy ra: $\angle IMK=\angle KCB$

$\Rightarrow AM//BC$ $\Rightarrow \angle CBA=\angle BAI$

Lại có $\angle BAI=\angle ACB$ (cùng bằng một nửa số đo cung AB)

Ta có $\angle ACB=\angle ABC$ nên $\triangle ABC$ cân tại $A$. (Q.E.D)