Geometry 4: Chứng minh rằng: $S_{ABCD} \leq \frac{AC}{4}(MN+NP+PQ+QM)$

Đề Bài:

Cho hình vuông $ABCD$ và tứ giác $MNPQ$ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh $AB,BC,CD,DA$ của hình vuông.

$1.$ Chứng minh rằng: $S_{ABCD} \leq \dfrac{AC}{4}(MN+NP+PQ+QM)$

$2.$ Xác định vị trí của $M,N,P,Q$ để chu vi tứ giác $MNPQ$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

1.Ta gọi độ dài cạnh hình vuông $ABCD$ là $x$

Ta có:
Theo BĐT Cauchy  $(a+b)^2 \leq 2(a^2+b^2) \Rightarrow a+b \sqrt{2(a^2+b^2)}$

Áp dụng điều này thì

$$BM+BN\leq \sqrt{2(BM^{2}+BN^{2})}=MN\sqrt{2}$$

Tương tự ta cũng có : 

$$CN+CP \leq MP\sqrt{2}$$

$$DP+DQ \leq QP\sqrt{2}$$

$$AQ+AM \leq QM\sqrt{2}$$

 Cộng tất cả các BĐT như trên lại ta có 

$BM+BN+CN+PC+DP+DQ+QA+AM$
$\leq \sqrt{2}(MN+NP+PQ+QM)$

$\Rightarrow 2\sqrt{2}.x\leq MN+NP+PQ+QM$

$\Rightarrow S_{ABCD}=x^2\leq x\sqrt{2}.\dfrac{MN+NP+PQ+QM}{4}$
$=AC.\dfrac{MN+NP+PQ+QM}{4}$$\blacksquare$

2. Theo câu a) Ta có $S_{ABCD} \leq \dfrac{AC}{4}(MN+NP+PQ+QM)$

$\Leftrightarrow \dfrac{AC^2}{2} \leq \dfrac{AC}{4}(MN+NP+PQ+QM)$
$\Leftrightarrow 2AC \leq MN+NP+PQ+QM$

Vậy $P_{MNPQ}$ đạt GTNN bằng $2AC$ 

khi $M,N,P,Q$ lần lượt là điểm chính giữa các đoạn thẳng $AB;BC;CD;DA$$\blacksquare$