Hiệu ứng

Menu

Blogroll

"Nếu không thử vì sợ thất bại thì bạn không hề tôn trọng tuổi trẻ và thời gian của mình...... Nếu cô ta tuyệt vời, cô ta sẽ không dễ dàng. Nếu cô ta dễ dàng, cô ta sẽ không tuyệt vời. Nếu cô ta xứng đáng, bạn sẽ không bỏ cuộc. Nếu bạn bỏ cuộc, bạn không xứng đáng... Sự thật là, tất cả mọi người sẽ làm bạn tổn thương; điều quan trọng là bạn tìm ra được người đáng cho bạn chịu đựng khổ đau..... Nếu có một cô gái sẵn sàng chết vì bạn,bạn biết vì sao không, nó chứng tỏ cô ấy thà chết còn hơn phải yêu bạn.

Tìm kiếm

Thứ Ba, 15 tháng 7, 2014

Geometry 19: Bất Đẳng thức hình học


Vào lúc 03 Tháng 7 2014 - 11:10, Yagami Raito đã nói:
Cho lục giác lồi $ABCDEF$ thỏa mãn điều kiện $AB=BC$,$CD=DE$,$EF=FA$
Chứng minh rằng:
$$\dfrac{BC}{BE}+\dfrac{DE}{DA}+\dfrac{FA}{FC}\ge \dfrac{3}{2}+\dfrac{(AC-CE)^2+(CE-AE)^2+(AE-AC)^2}{(AC+CE)^2+(CE+AE)^2+(AE+AC)^2}$$ 

Lời Giải:


Đặt $AC=a,CE=b,AE=c$.Áp dụng định lý Ptolemy mở rộng cho tứ giác $ACEF$ ta có 
$$AC.EF+CE.AF \ge AE.CF$$

Vì $EF=AF$ nên suy ra: $\dfrac{FA}{FC} \ge \dfrac{c}{a+b}$

Tương tự ta cũng có $\dfrac{DE}{DA} \ge \dfrac{b}{c+a}$ và $\dfrac{BC}{BE}\ge \dfrac{a}{b+c}$

Từ đó suy ra 
$$\dfrac{BC}{BE}+\dfrac{DE}{DA}+\dfrac{FA}{FC} \ge \dfrac{3}{2}+\dfrac{(AC-CE)^2+(CE-AE)^2+(AE-AC)^2}{(AC+CE)^2+(CE+AE)^2+(AE+AC)^2}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} \ge \dfrac{3}{2}+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}-\dfrac{3}{2} \ge \dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{(a-b)^2}{2(b+c)(a+c)}+\dfrac{(b-c)^2}{2(b+a)(c+a)}+\dfrac{(c-a)^2}{2(c+b)(a+b)} \ge \dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}$$
$$\Leftrightarrow \sum (a-b)^2[\dfrac{1}{2(a+c)(b+c)}-\dfrac{1}{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}] \ge 0$$

Bất đẳng thức đã quy về dạng chính tắc $SOS$:
$$S_{a}(b-c)^2+S_{b}(c-a)^2+S_{c}(a-b)^2 \ge 0$$

Dễ thấy : 
$$2(a+c)(b+c) \le (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2$$
$\Rightarrow \dfrac{1}{2(a+c)(b+c)} \ge \dfrac{1}{(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2}$

Như vậy $S_{c} \ge 0$, đánh giá tương tự ta cũng dễ dàng thu được kết quả $S_{a},S_{b} \ge 0$

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ tức là $ABCDEF$ là một lục giác đều nội tiếp $\blacksquare$



Thứ Ba, 8 tháng 7, 2014

Thuật ngữ toán học Anh-Việt (A)

Thuật ngữ toán học Anh-Việt (A)

  • abacus: Bàn tính
  • abbreviate: Viết tắt; nhiều khi được viết tắt thành abv.
  • Abelian: có tính giao hoán (đặt theo tên nhà toán học Abel)
  • abridge: Rút gọn, làm tắt
  • abscissa: Hoành độ
  • abscissae: Hoành độ
  • absolute: Tuyệt đối
  • absolute value: Giá trị tuyệt đối
  • abut: (a.) Chung biên, kề sát
  • accelerate: 1. (n.) Gia tốc; 2. (v.) tăng tốc độ
    • ~ of convergence: Gia tốc hội tụ
    • ~ of gravity: Gia tốc trọng trường
    • ~ of translation: Gia tốc tịnh tiến
    • angular ~: Gia tốc góc
    • average ~: Gia tốc trung bình
    • centripetal ~: Gia tốc hướng tâm
    • instantaneous ~: Gia tốc tức thời
    • local ~: Gia tốc địa phương
    • normal ~: Gia tốc pháp tuyến
    • relative ~: Gia tốc tương đối
    • supplemental ~: Gia tốc tiếp tuyến
    • total ~: Gia tốc toàn phần
  • accumulator: Bộ đếm
  • accuracy: Độ chính xác
  • accurate: Chính xác
  • acnode : Điểm cô lập (của đường cong)
  • acyclic: (a.) Không tuần hoàn, phi tuần hoàn
  • acyclicity: Tính không tuần hoàn, tính xilic
  • add: Cộng vào, thêm vào, bổ sung
  • addend: Số hạng (của tổng)
  • adder: Bộ cộng
    • algebraic ~: Bộ cộng đại số
    • amplitude ~: Bộ cộng biên độ
  • addition: Phép cộng
  • additive: Cộng tính
  • additivity: (tính chất) cộng tính
  • adinfinitum (Latin): Vô cùng
  • adjoin: Kề, nối, chung biên
  • adjoint: Liên hợp
    • ~ of differential quation: Phương trình vi phân liên hợp
    • ~ of a matrix: Ma trận liên hợp
  • aerodynamic: Khí động lực
    • aerodynamics: Khí động lực học
  • aerostatic: Khí tĩnh học
  • affine: Afin
    • affinity: Phép biến đối afin
    • affinor: Afinơ, toán từ biến đổi tuyến tính
  • affixe (???): Tọa vị
  • aggregate: 1. (n.) Tập hợp, bộ; 2, (v.) tụ tập lại
    • bounded ~: Tập hợp bị chặn
    • finite ~: Tập hợp hữu hạn
    • infinite ~: Tập hợp vô hạn
    • product ~: Tập hợp tích
    • aggregation: Sự tổng hợp
    • linear ~: Sự gộp tuyến tính
  • agreement: Quy ước
  • aleatory: Ngẫu nhiên
  • algebra: Đại số
    • ~ of classes: Đại số các lớp
    • ~ of finite order: Đại số có cấp hữu hạn
    • ~ of logic: Đại số lôgic
    • abstract ~: Đại số trừu tượng
    • Boolean ~: Đại số Bool
    • cardinal ~: Đại số bản số
    • central ~: Đại số trung tâm
    • closure ~: Đại số đóng
    • complete Boolean ~: Đại số Bool đầy đủ
    • complete matrix ~: Đại số toàn bộ ma trận
    • convolution ~: Đại số nhân chập
    • derived ~: Đại số dẫn xuất
    • diagonal ~: Đại số chéo
    • differential ~: Đại số vi phân
    • enveloping ~: Đại số bao
    • exterial (???) ~: Đại số ngoài
    • formal ~: Đại số hình thức
    • free ~: Đại số tự do
    • graded ~: Đại số phân bậc
    • graphic ~: Đại số đồ thị
    • group ~: Đại số nhóm
    • homological ~: Đại số đồng đều
    • involutory ~: Đại số đối hợp
    • linear ~: Đại số tuyến tính
    • linearly compact ~: Đại số compắc tuyến tính
    • linearly topological ~: Đại số tôpô tuyến tính
    • logical ~: Đại số lôgíc
    • matrix ~: Đại số ma trận
    • non-commutative ~: Đại số không giao hoán
    • polynomial ~: Đại số đa thức
    • tensor ~: Đại số tenxơ
    • vector ~: Đại số véctơ
    • zero ~: Đại số không
  • algorithm: Thuật toán, angôrit
    • Euclid's ~: Thuật toán Euclid
  • allocation: Sự phân bố
    • optimum ~: Sự phân bố tối ưu
  • almost-metric: (a.) Giả mêtric
  • almucantar: Vĩ tuyến thiên văn
  • alternate: (a.) So le, luân phiên, đan dấu
  • altitude: Chiều cao
  • amplification: Sự khuếch đại
    • ~ of regulation: Sự khuếch đại điều hòa
    • linear ~: Sự khuếch đại tuyến tính
  • amplitude: Biên độ, góc cực, agumen, độ phương vị
    • ~ of complex number: Agumen của số phức
    • ~ of simple harmonic motion: Biên độ chuyển động điều hòa đơn giản
    • complex ~: Biên độ phức
    • delta ~: Biên độ delta
    • primary ~: Biên độ nguyên sơ
    • scattering ~: Biên độ tán xạ
    • unit ~: Biên độ đơn vị
  • amenable: dễ giải (khái niệm trong đại số C*)
  • analysis: Giải tích
    • ~ of convariance: Phân tích hiệp phương sai
    • ~ of regression: Phân tích hồi quy
    • ~ of variance: Phân tích phương sai
    • bunch map ~: Phân tích biểu đồ chòm
    • combinatory ~: Giải tích tổ hợp
    • confluence ~: Phân tích hợp lưu
    • correlation ~: Phân tích tương quan
    • dimensional ~: Phân tích thứ nguyên
    • functional ~: Giải tích hàm
    • harmonic ~: Phân tích điều hòa, giải tích điều hòa
    • indeterminate ~: Giải tích vô định
    • multivariate ~: Phân tích nhiều chiều
    • nodal ~: Giải tích các nút
    • numerical ~: Giải tích số, phương pháp tính
    • operation ~: Vận trù học
    • periodogram ~: Phân tích biểu đồ chu kỳ
    • probity ~: Phân tích đơn vị xác suất
    • rational ~: Phân tích hợp lý
    • statistic ~: Phân tích thống kê
    • strain ~: Phân tích biến dạng
    • stress ~: Phân tích ứng suất
    • successive ~: Phân tích liên tiếp
    • tensor ~: Giải tích tenxơ
  • anamorphosis: Tiện biến
  • angle: Góc
  • anharmonic: Phi điều hòa, kép
  • anholomomic: Không hôlônôm
  • anisotropic: Không đẳng hướng
  • antapex: Đối đỉnh
  • anti-acoustic: Phản tự quang
  • anti-automorphism: Phản tự đẳng cấu
    • involutorial ~: Phản tự đẳng cấu đối hợp
  • antichain: Phản xích
  • anticollineation (???): Phép phản cộng tuyến
  • anti-commutative: (a.) Phản giao hoán
  • anti-commutator: Phản hoán tử
  • anticorelation: Phép phản tương hỗ
  • anticyclone: Đối xiclon
  • antiderivative: Nguyên hàm, tích phân không định hạng
  • antiform: Phản dạng
  • anti-harmonic: (a.) Phi điều hòa
  • anti-homomorphism: Phản đồng cấu
  • anti-isomorphism: Phản đẳng cấu
  • antiparallelogram: Hình thanh cân
  • antipodal: Xuyên tâm đối, đối xứng qua tâm
  • antiprojectivity: Phép phản xạ ảnh
  • antiradical: Đối căn
  • antirepresentation: Phép phản biểu diễn
  • anti-resonance: Phản cộng hưởng
  • antiseries: Chuỗi ngược
  • anti-symmetric: Phản xứng
  • Antitone (???): Phản tự
  • Apolar (???): Liên hợp
  • apothem: Trung đoạn
  • approach: 1. Xấp xỉ, cách tiếp cận; 2. tiến lại gần
  • arbitrary: Tùy ý
  • arc: Cung
    • pseudo-periodic ~: Cung giả tuần hoàn
    • regular ~: Cung chính quy
  • arch: Vòm
  • area: Diện tích
  • arithmetic: Số học
  • asphericity: tính phi cầu
  • associative: (a.) kết hợp̣
  • assumption: Giả định, giả thiết
  • asymptotic: (a.) Tiệm cận
  • asynchronous: (a.) không đồng bộ
  • atlas: bản đồ (trong định nghĩa của đa tạp)
  • autocollelator: Máy phân tích tương quan
  • autocovariance: Tự hiệp, phương sai
  • autoduality: Tính tự đối ngẫu
  • automorphic: Tự đẳng cấu
    • automorphism: Phép nguyên hình, tự đẳng cấu
    • central ~: Tự đẳng cấu trung tâm
    • interior ~: Phép tự đẳng cấu trong
    • outer ~: Phép tự đẳng cấu ngoài
    • singular ~: Phép tự đẳng cấu kỳ dị
  • autoprojectivity: Phép tự xạ ảnh
  • autoregressive: Phép tự hồi quy
  • axiom: Tiên đề
  • axis: Trục
    • coordinate ~: Trục tọa độ
    • crystallographic ~: Trục tinh thể
    • electric ~: Trục điện
    • focal ~: Trục tiêu
    • homothetic ~: Trục vị tự
    • imaginary ~: Trục ảo
    • longitudinal ~: Trục dọc
  • azimuth: Góc cực, độ phương vị