ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NĂM 2014

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT 

CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NĂM 2014

Môn thi: Toán chung

Câu 1:(2 điểm): Cho các số thực dương $a,b$ với $a\neq b$.Chứng minh đẳng thức sau:

$$\dfrac{\dfrac{(a-b)^3}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^3}-b\sqrt{b}+2a\sqrt{a}}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}+\dfrac{3a+3\sqrt{ab}}{b-a}=0$$  

Câu 2 (2 điểm) Cho quãng đường $AB$ dài $120$ km.Lúc 7 h sáng, một xe máy đi từ A đến B. Đi được $\dfrac{3}{4}$ quãng đường xe bị hỏng phải dừng lại sửa mất 10 phút rồi đi tiếp đến B với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đầu $10$ km/h. Biết xe máy đến B lúc $11$ giờ $40$ phút trưa cùng ngày. Giả sử vận tốc của xe máy trên $\dfrac{3}{4}$ quãng đường ban đầu không thay đổi và vận tốc của xe máy trên $\dfrac{1}{4}$ quãng đường còn lại cũng không thay đổi. hỏi xe máy bị hỏng lúc mấy giờ.

Câu 3 (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P) :y=x^2$ và đường thẳng $d: y=\dfrac{-2}{3}(m+1)x+\dfrac{1}{3}$ (với m là tham số )

1.Chứng minh rằng với mỗi giá trị của $m$ đường thẳng $d$ cắt parabol $(P)$ tại 2 điểm phân biệt.

2. Gọi $x_1,x_2$ là hoành dộ các giao điểm của $d$ và $(P)$, đặt $f(x)=x^3+(m+1)x^2-x$

Chứng minh đẳng thức $f(x_1)-f(x_2)=\dfrac{-1}{2}(x_1-x_2)^3$      

Câu 4 (3 điểm) Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường kính $AC=2R$.Gọi $K$ và $M$ theo thứ tự là chân các đường cao hạ từ $A$ và $C$ xuống $BD$, $E$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, biết $K$ thuộc đoạn $BE$ ($K \neq B$,$K\neq E$).Đường thẳng qua $K$ song song với $BC cắt$AC$tại$P$.

1. Chứng minh tứ giác $AKPD$ nội tiếp

2. Chứng minh $KP\perp PM$

3. Biết $\widehat{ABD}=60^{\circ}$ và $AK=x$.Tính $BD$ theo $R$ và $x$.

                                                                  

Câu 5 (1 điểm) Giải phương trình 

$$\dfrac{x(x^2-56)}{4-7x}-\dfrac{21x+22}{x^3+2}=4$$

-------------------------------------------Hết-------------------------------------------