Geometry 2 Chứng minh I, D, N, K thuộc 1 đường tròn

Đề bài:

Tam giác ABC ngoại tiếp (I). Gọi D, E, F là các tiếp điểm của BC, CA, AB với (I). M là giao điểm của EF và BC; AD cắt (I) tại N. AI giao EF tại K.

a) Cm I, D, N, K thuộc 1 đường tròn

b) MN là tiếp tuyến (I)

Lời giải

a) Ta có AK trung trực $EF$ nên $AK$ vuông góc với EF

Xét $\triangle AEI$ theo hệ thức lượng ta có: $AK.AI=AE^2=AF^2=AN.AD$

$\Rightarrow $ tức giác $INDK$ nội tiếp hay 4 điểm $I,N,K,D$ cùng thuộc một đường tròn

b) Xét tứ giác $MKID$ có $\angle MKI+\angle MDI =180$ độ nên tứ giác $MDIK$ nội tiếp 

hay 4 điểm $M,D,I,K$ cùng thuộc 1 đường tròn

Kết hợp câu a) ta có 5 điểm $M;D;I;K;N$ cùng thuộc một đường tròn 

$\Rightarrow $ tứ giác $MNID$ nội tiếp $\Rightarrow \angle MNI=90$ độ

Suy ra $MN$ là tiếp tuyến của $(I)$. Ta có đpcm